dimecres, 22 de març del 2023

Teoria de la regularitat d'equacions diferencials no-lineals (Luis A. Caffarelli, Premi Abel 2023)

L'Acadèmia Noruega de Ciències i Lletres ha anunciat avui la concessió del Premi Abel de Matemàtiques a Luis A. Caffarelli "per les seves contribucions fundacionals a la teoria de la regularitat de les equacions diferencials no-lineals incloent-hi problemes de vora lliure i l'equació de Monge-Ampère".

Luis A. Caffarelli

Luis Angel Caffarelli (*Buenos Aires, 8.12.1948). Estudià a la Universidad de Buenos Aires, on obtingué el mestratge (1968) i s'hi doctorà (1972) amb una tesi dirigida per Calixto Calderón. Després d'una estada post-doctoral a la University of Minnesota (1973-1974), fou professor d'aquest centre (1975-1983), del Courant Institute of Mathematical Sciences de la New York University (1980-1982; 1994-1997), de la University of Chicago (1983-1986) i de Princeton (1986-1996). Des del 1997 és professor de matemàtiques de la University of Texas at Austin, i de l'Institute for Computation Engineering and Sciences del mateix centre.

Equacions diferencials parcials

La teoria de la regularitat aplicada a equacions diferencials parcials cerca establir-hi o descartar-hi singularitats. Això contribueix a la descripció i classificació d'equacions diferencials parcials no-lineals.

Entre les aplicacions de la teoria de la regularitat hi ha la solució de problemes sobre sistemes físics de vora lliure, com ara els problemes sobre obstacles.

Un exemple el trobem en les equacions de Navier-Stokes, que modelen el flux de fluids incompressibles. És encara oberta la qüestió de si en tres dimensions aquestes equacions tenen solucions regulars. En el 1982, Caffarelli, juntament amb Kohn i Nirenberg, mostrà que conjunts de singularitats de solucions febles adequades han d'ésser prou petits per no contindre-hi cap corba.

L'equació de Monge-Ampère és una equació diferencial parcial altament no-lineal. S'utilitza en la construcció de superfície de curvatura gaussiana. Amb Nirenberg i Spruck, Caffarelli estudià solucions per a aquesta equació en el 1984.

El problema de transport de massa òptima de Monge-Kantorovich fou tractat per Caffarelli & Vasseur (2010), que oferiren resultats de regularitat profunda per a l'equació quasi-geostròfica. En aquest treball aplicaven el treball de Caffarelli & Silvestre (2007) sobre el fraccional laplacià.

Des del 1999, Caffarelli ha treballat sobre la teoria de l'homogenització.

Lligams:

- Pàgina web de Luis A. Caffarelli a la University of Texas at Austin.

- Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier-Stokes equations. Caffarelli, L.; Kohn, R.; Nirenberg, L. Comm. Pure Appl. Math. 35: 771-831 (1982).

- The Dirichlet problem for nonlinear second-order elliptic equations. I. Monge-Ampère equation. Caffarelli, L.; Nirenberg, L.; Spruck, J. Comm. Pure Appl. Math. 37: 369-402 (1984).

- A note on nonlinear homogenization. Caffarelli, L. A. Comm. Pure Appl. Math. 52: 829-838 (1999).

- An extension problem related to the fractional Laplacian. Caffarelli, Luis; Silvestre, Luis. Comm. Partial Differential Equations 32: 1245-1260 (2007).

- Drift diffusion equations with fractional diffusion and the quasi-geostrophic equation. Caffarelli, Luis A.; Vasseur, Alexis. Ann. of Math. (2) 171: 1903-1930 (2010).