Avui, 20 de març, l’Acadèmia Noruega de Ciències i Lletres ha comunicat la concessió del Premi Abel de Matemàtiques a Michel Talagrand, "per les seves contribucions fonamentals a l'anàlisi funcional i la teoria de la probabilitat, amb aplicacions destacades en la física matemàtica i l'estatística".
Michel Talagrand
Michel Talagrand (*Besièrs, 15.2.1952) fou educat a Liyon, amb un pare professor de matemàtiques i una mare professora de francès. A cinc anys va perdre la visió d'un ull, i a deu anys comença a patir de l’altre. Interessat en matemàtiques i física, es graduà en matemàtiques a la Universitat de Lió. El 1974 començà a investigar a París en el Centre national de la recherche scientifique (CNRS), on es doctorà el 1977. Fou membre de l’Equip d’Anàlisi Funcional de l’Institut de Ciències Matemàtiques, i col·laborà amb Gustave Choquet (1915-2006), Gilles Pisier (*1950) i Vitali Milman (*1939). En el seu primer viatge als Estats Units conegué la matemàtica Wansoo Rhee, amb qui es casà i tingué dos fills. A partir del 1985 fou director de recerca. El 2017 es retirà del CNRS. És autor, entre d’altres de Spin Glasses (2003), The Generic Chaining (2005) i What Is a Quantum Field Theory? (2022).
Processos estocàstics
La teoria de la probabilitat nasqué per respondre a problemes relacionats amb els jocs d’atzar, però aviat trobà aplicacions més generals en l’estimació de riscos. L’atzar deliberat o l’atzar derivat de la complexitat de sistemes hi troben tractament.
La mecànica estatística tracta processos estocàstics inspirats en el medi natural. La transició de fase és un exemple de com l’acumulació de canvis quantitatius, en creuar un llindar força precís, es converteix en un canvi qualitatiu.
En la geometria de processos estocàstics juga un paper important l’estimació del suprem d’una gran col·lecció de variables aleatòries correlacionades. A partir dels treballs d’Andrei Kolmogorov (1903-1987), Xavier Fernique (1934-2020) i Richard M. Dudley (1938-2020), Talagrand desenvolupà la teoria d’encadenament genèric. Aquesta teoria forneix límits precisos dins dels quals s’espera trobar els suprems de processos gaussians (és a dir de processos estocàstics les variables dels quals segueixen una distribució normal) (Talagrand, 1994). Això explicaria la relació entre la funció de distància (que depèn de la covariància del procés) i l’expectació del suprem.
En la geometria de processos estocàstics, Talagrand ha mostrat la rellevància de treballar amb espais multidimensionals, com ara en el volum ‘Probability in Banach Spaces’, escrit el 1991 amb Michel Ledoux (*1958). Un altre exemple d’això el trobem en el treball publicat amb la seva dona sobre distribucions que permeten empacaments perfectes (Rhee & Talagrand, 1988)
Concentració de mesura
La relació entre un paràmetre físic i la mesura que podem obtindre a través d’una metodologia es tractada per tot un àmbit de l’estatística. L’estimació de la probabilitat depèn de la distribució dels casos possibles. Talagrand (1987) obtingué una desigualtat entre la distància del cost de transport quadràtic d’una mesura de probabilitat i una distribució gaussiana a partir de l’entropia relativa.
D’acord amb la llei dels grans nombres, postulada per Jacob Bernouilli a Ars Conjectandi (publicada pòstumament el 1713), la suma normalitzada de variables aleatòries independents convergeix cap a la seva mitjana, és a dir la seva probabilitat. Milman es referia a aquesta suma normalitzada com una concentració de mesura. Talagrand (1995) estimà el límit superior de la probabilitat d’una certa desviació com a funció de la probabilitat de l’esdeveniment i del nombre de repeticions realitzades.
Talagrand (2006) demostrà el límit inferior complementari de la fórmula de Parisi de l’energia lliure en el model de Sherrington-Kirkpatrick. Això conduí al desenvolupament de la teoria matemàtica dels cristalls d’espín.
Talagrand demostrà l’existència de submesures exhaustives que no són absolutament contínues en relació a una mesura finitament additiva. Això obre la porta a nous àlgebres booleans.
Lligams:
- Pàgina web de Michel Talagrand.
- Pàgina web del Premi Abel 2004.
- Regularity of gaussian processes. Michel Talagrand. Acta Mathematica 159: 99-149 (1987)
- Some distributions that allow perfect packing. Wansoo T. Rhee, Michel Talagrand. Journal of the ACM 35: 564-578 (1988).
- Sharper Bounds for Gaussian and Empirical Processes. M. Talagrand. Ann. Probab. 22: 28-76 (1994).
- Concentration of measure and isoperimetric inequalities in product spaces. Michel Talagrand. Publications de l’IHES 81: 73-205 (1995).
- The Parisi Formula. Michel Talagrand. Annals of Mathematics 163: 221-263 (2006).
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada