L’anàlisi algebraica i la teoria de la representació: Masaki Kashiwara, Premi Abel 2025

Matemàtiques: Aquest migdia l'Acadèmia Noruega de Ciències i Lletres ha anunciat la concessió del Premi Abel 2025 a Masaki Kashiwara, de l’Institut de Recerca en Ciències Matemàtiques de la Universitat de Kyoto, «per les seves contribucions fonamentals a l’anàlisi algebraica i la teoria de la representació, en particular el desenvolupament de la teoria de D-mòduls i la descoberta de les bases cristall». El premi és dotat pel govern noruec amb 7,5 milions de corones, i la cerimònia de lliurament es farà a Oslo el 20 de maig.

Masaki Kashiwara

柏原 正樹 (*結城市, 30.1.1947) és fill del matrimoni format per Masaharu i Kazuko Kashiwara. El seu pare treballava al Ministeri d’Agricultura, la qual cosa marcà la infància de Kashiwara en forma de trasllats de residència. Explica que la introducció a l’àlgebra a l’escola fou a través del 鶴亀算, és a dir del càlcul del nombre de grues i tortugues d’un conjunt del qual sabem el nombre de caps i de potes. El fascinava la possibilitat de trobar mètodes per resoldre genèricament tipus sencers de problemes.

A la Universitat de Tokyo esdevingué alumne de Mikio Sato (1928-2023), pioner en l’anàlisi algebraica. Sota la supervisió de Sato, realitzà la tesi de màster fonamentant la teoria analítica de D-mòdul (1970). En el 1971 ingressà en l’Institut de Recerca de Ciències Matemàtiques de la Universitat de Kyoto, bo i mantenint la col·laboració amb Sato sobre anàlisi algebraica. Aquell mateix any conegué al Simposi Taniguchi de Katata al matemàtic Pierre Schapira (*1943). A través de Schapira, entrà en contacte amb André Martineau (1930-1972), qui convidà Sato, Takahiro Kawai (*1945) i al propi Kashiwara a la Universitat de Niça en el curs 1972-1973. La col·laboració patí el sotrac de la malaltia i mort de Martineau, però s’iniciaren els treballs que conduirien al desenvolupament de la teoria de feixos.

En el 1974 defensà reeixidament la tesi doctoral a la Universitat de Kyoto. Seguidament fou nomenat professor associat a la Universitat de Nagoya. En el curs 1977-1978 fou investigador al Massachusetts Institute of Technology. De nou al Institut de Recerca de Kyoto, n’ocupà la direcció en dues ocasions (2002-2003 i 2007-2009). En el 1981 es casà a Hiroko. En el 2010 esdevingué professor emèrit, però mantingué la funció de professor de projectes. En el 2018 destinà una part de la Medalla Chern a l’Institut. En el 2019 esdevingué professor específic de programa de l’Institut Universitari de Kyoto d’Estudis Avançats.

L’anàlisi algebraica i la teoria de la representació

Les reflexions d’un hexàgon assenyalen els eixos de simetria a través dels quals és possible realitzar transformacions lineals d’aquesta figura en el centre del polígon. La teoria de representació estudia l’efecte d’estructures algebraiques sobre objectes d’aquesta mena.

L’anàlisi algebraica consisteix en l’aplicació d’eines algebraiques a la caracterització de funcions, com ara les equacions diferencials parcials lineals (EDPL).

Kashiwara treballà amb Jean-Luc Brylinski (*1951) i amb Toshiyuki Tanisaki (*1955) sobre la conjectura de Kazhdan-Lusztig, que menà a la introducció d’eines d’àlgebra, anàlisi i geometria en la teoria de representació. La teoria de representació utilitza eines algebraiques per investigar la forma amb la qual una certa simetria es pot expressar amb transformacions lineals en espais vectorials. La conjectura de Kazhdan-Lusztig connecta caràcters de representacions amb grups de cohomologia en intersecció. La demostració d’aquesta conjectura per Kashiwara i Brylinski aplica la correspondència de Riemann-Hilbert. Kashiwara i Taniksaki generalitzaren la conjectura de Kazhdan-Lusztig a àlgebres de Lie afins d’infinites dimensions en una varietat.

Kashiwara treballà amb Schapira en el desenvolupament de la teoria de feix microlocal. Aquesta teoria, nascuda de la teoria de representació, trobà aplicacions en geometria, en topologia i en teoria de nusos. L’anàlisi microlocal relaciona equacions diferencials en varietat amb objectes geomètrics del feix cotangent.

Kashiwara és l’epònim d’un teoria de ‘tall de síndries’ que combina hiperfuncions, camps vectorials i fronts d’ona analítics.

La teoria de mòduls-D

La teoria de mòdul-D és una aplicació de l’anàlisi algebraica per a l’estudi d’EDPL. Kashiwara desenvolupà en el 1970 els mòduls-D analítics amb la introducció de la noció de varietat característica, la qual cosa implica la generalització del teorema de Cauchy-Kovalevskaya. En el 1980, Kashiwara utilitzà aquesta teoria per demostrar la correspondència de Riemann-Hilbert, la qual cosa li va valdre el Premi Iyanaga per matemàtics menors de 40 anys (1981). L’anomenat problema de Riemann-Hilbert, catalogat com el problema 21 de Hilbert, qüestiona l’existència d’una equació diferencial lineal en una esfera de Riemann amb singularitats regulars i amb monodromies locals prescrites. Pierre Deligne havia estès i resolt aquest problema per a més de tres dimensions. En la formulació de Kashiwara, la correspondència de Riemann-Hilbert es formula com l’equivalència entre mòduls-D holonòmics regulars i feixos perversos.

Les bases cristall

En el 1990, Kashiwara desenvolupà la teoria de bases cristall de grups quàntics, en el marc de la teoria de representació. Els grups quàntics són objectes algebraics derivats dels models de malla emprats en mecànica estatística. Les bases cristall representen els grups quàntics com a grafs dirigits, i constitueixen una eina combinatòria capaç de resoldre nombrosos problemes a través de la teoria de la representació.

Lligams:

- Sato, Mikio; Kawai, Takahiro; Kashiwara, Masaki. Microfunctions and pseudo-differential equations. Hyperfunctions and pseudo-differential equations (Proc. Conf., Katata, 1971; dedicated to the memory of André Martineau), pp. 265–529. Lecture Notes in Math., Vol. 287. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1973

- Masaki Kashiwara, Pierre Schapira. Sheaves on Manifolds. Springer-Verlag, 1990.