Avui l’Acadèmia Noruega de Ciències i Lletres ha anunciat la concessió del Premi Abel 2026 a Gerd Faltings «per la introducció d’eines potents en geometria aritmètica i per resoldre les conjectures diofantines de Mordell i Lang.». El premi té una dotació de 7,5 milions de corones noruegues, fornides pel Ministeri d'Educació.
Gerd Faltings
Gerd Faltings (*Buer, Gelsenkirchen, 28.7.1954) és fill d'un físic i d'una química. De primer s'orientà per la física però al final decidí estudiar matemàtiques en haver-hi guanyat concursos en secundària. Es graduà a la Universitat de Münster i, després del servei militar, realitzà la tesi doctoral sota la supervisió de Hans Joachim Nastold sobre la macaulyficació en àlgebra commutativa (1978). Realitzà un postdoctorat a Harvard sobre geometria algebraica d'inclusions toroidals (1979). S'habilità a Münster en geometria formal i cohomologia local. Com a professor a la Universitat de Wuppertal (1982) guanyà prestigi en demostrar la conjectura de Mordell i formular així el teorema segon el qual una corba de genus major d’1 sobre el camp dels nombres racionals té un nombre finit de punts racionals (1983). En el 1984 es casà amb la també matemàtica de la Universitat de Wuppertal Angelika Tschimmel. El 1985 esdevingué professor de Princeton, on naixerien les dues filles del matrimoni, Christina i Ulrike.
A Princeton investigà les compactificacions toroidals i la teoria p-àdica de Hodge. Amb Gisbert Wűstholz demostrà el teorema de Roth sobre aproximacions diofantines de nombres algebraics. Aquest i altres treballs en geometria algebraica li valgueren la Medalla Fields en el 1986. Més endavant encara demostraria la conjectura Mordell-Lang segons la qual les varietats algebraiques de tipus general no tenen subconjunts densos de punts racionals.
El 1994 retornà amb la família a Alemanya ingressant en l’Institut Max Planck de Matemàtiques de Bonn (MPI). Entre el 1995 i el 2023 fou director de l’MPI. Hi va treballar en espais de mòduls, introduint el concepte de cobertes gairebé d’étale. Ara, com a director emèrit del MPI, encara fa recerca en geometria aritmètica.
Conjectures diofantines de Morrell i Lang
Podem entendre les equacions diofantines com a equacions polinòmiques de nombres racionals. La teoria de Galois s’adreçà a la dimensió zero de les equacions diofantines. La dimensió una es correspon a les corbes, que poden classificar-se segons el seu genus: si l’esfera té un genus de 0, el torus té un genus d’1, de tal manera que podem dir que el nombre de genus equival als forats d’aquestes superfícies tridimensionals.
Si l’esfera o el disc tenen un genus de 0, el torus un genus d’1, i la tetera un genus de 2, el genus de 3 es correspondria a un pretzel. Podem dir que el genus d’una corba complexa és el nombre de forats de la superfície real de Riemann de dues dimensions corresponent.
El teorema de Hasse-Minkowski s’adreça al problema diofantí de corbes de genus zero.
Una corba de genus u es correspon a una corba el·líptica. Henri Poincaré (1854-1912) conjecturà en el 1901 que el grup de punts racionals d’una corba el·líptica segueix una generació finita. Aquesta conjectura fou demostrada per Louis J. Mordell (1888-1972) en el 1922, qui alhora conjecturà que una corba de genus dos o superior té únicament un nombre finit de punts racionals.
La conjectura de Mordell romangué com el problema diofantí obert central fins la demostració citada per Faltings del 1983 (Faltings, 1983). Per comptes de fer-ho a través de l’aproximació diofantina, Faltings ho aconseguí a través de la conjectura de John Tate (1925-2019) sobre cicles algebraics i la d’Igor Shafarevich (1923-2017) sobre varietats abelianes. Segons el teorema de Faltings, per a qualsevol corba plana llisa de grau quatre o superior hi ha un nombre finit de punts racionals. Un cas especial d’aquestes corbes són les corbes de Fermat xn+yn=zn, per a un exponent n ≥ 4.
L’aproximació diofantina a la conjectura de Mordell que havien intentat André Weil (1906-1998) i Carl Ludwig Siegel (1896-1981) reeixí en el 1989 amb Paul Vojta. A partir del treball de Vojta, Faltings (1991) aconseguí demostrà la conjectura de Mordell-Lang de subvarietats de varietats abelianes. La conjectura de Mordell-Lang era una generalització de la conjectura de Mordell en el sentit que una varietat abeliana generalitza una corba el·líptica, en ésser una varietat projectiva completa amb una estructura de grup. Segons la conjectura de Mordell-Lang tots els punts racionals continguts en la unió d’un nombre finit de subconjunts d’una subvarietat es tradueixen en una subvarietat abeliana. La demostració de Faltings de la conjectura de Mordell-Lang es fonamenta en una aproximació diofantina (teorema del producte de Faltings) que generalitza el teorema de Klaus F. Roth (1925-2015) sobre l’aproximació de nombre algebraics per nombres racionals (Faltings & Wüstholz, 1994).
Geometria aritmètica
La teòrica clàssica de Hodge relaciona la topologia de varietats complexes amb la llur geometria diferencial. La teoria p-àdica de Hodge estudia les estructures naturals de la cohomologia de varietats algebraics sobre camps p-àdics. Si les accions de Galois codificaven la informació aritmètica d’aquests camps, les de Frobenius en codifiquen la informació geomètrica.
Faltings demostrà les principals conjectures formulades per Tate i per Jean-Marc Fontaine (1944-2019) en la teoria p-àdica de Hodge. A través de la correspondència p-àdica de Simpson, Faltings n’estengué l’abast a un context no-abelià. La cohomologia Betti de la teoria clàssica de Hodge té la seva correspondència en la cohomologia étale p-àdica i en la cohomologia de Rham.
El teorema de la puritat de Faltings i les extensions gairebé étale han permès el desenvolupament de la teoria p-àdica de Hodge i de l’àlgebra commutativa. Les corbes el·líptiques sobre els nombres complexos es parametritzen per isomorfismes amb punt de la corba modular, la qual resulta del quocient de pla mitjà-superior del grup de matrius d’integrals dos a dos de determinant u a través de transformacions fraccionals lineals.
Lligams:
- Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern. G. Faltings. Inventiones mathematicae (1983).
- Diophantine Approximation on Abelian Varieties. Gerd Faltings. Annals of Mathematics 133: 549-576 (1991).
- Diophantine approximations on projective spaces. Gerd Faltings & Gisbert Wüstholz. Inventiones mathematicae (1994).
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada